Archimède de Syracuse

(287 - 212 avant J.-C.), mathématicien et ingénieur grec

 

Méthode d'Archimède

Le rayon du cercle étant 1, alors l'aire d'un triangle est :

donc l'aire de l'hexagone est :

 

 

 

 

 

On fait un calcul analogue pour trouver l'aire du polygone circonscrit.

On trouve une valeur de : 3,464...

Donc 2,598 < p < 3,464

 

 

 

 

 

Par cette méthode purement géométrique mettant en jeu les polygones réguliers à 6, 12, 24, 48, 96 côtés, Archimède démontre la double inégalité suivante: 3 + 10/71 < p <3 + 1/7

Cet encadrement donne les deux premières décimales de p.

Nombre de cotés

Aire du polygone

inscrit

Aire du polygone

circonscrit

6

2, 598 076

3, 464 102

12

3, 000 000

3, 215 390

24

3, 105 829

3, 159 660

48

3, 132 629

3, 146 086

96

3, 139 350

3, 142 715

180

3, 140 955

3, 141 912

360

3, 141 433

3, 141 672

720

3, 141 553

3, 141 613

1440

3, 141 583

3, 141 598

2880

3, 141 590

3, 141 594

5760

3, 141 592

3, 141 593

 

 

 

 

 

 

 

Archimède s'est arrêté à ce niveau

 

 

 

 

 

 

 

A la suite d'Archimède, les savants ont pendant longtemps essayé d'améliorer la méthode des polygones, et d'augmenter autant que possible le nombre de cotés. Le record en la matière appartient à Ludolph van Ceulen (16e siècle). Il consacra sa vie à ce calcul et parvint à trouver 35 décimales, à l'aide de polygones ayant 262 cotés.

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