Document élève

Les passages signalés par DERIVE n° indiquent une intervention possible de l'enseignant avec le logiciel DERIVE et sont commentés dans la partie
"Utilisation commentée du logiciel".


INTRODUCTION au Nombre Dérivé

PREMIERE PARTIE : calcul de la vitesse à un instant donné



On lance une pierre vers le haut à partir d'une fenêtre située à 9 mètres du sol. On se propose de déterminer la vitesse de la pierre en certains instants.

Soit H(t) la hauteur de la pierre à l'instant t ; H(t) est mesurée en mètre, par rapport au sol ; t est exprimée en seconde, et l'instant initial t = 0 est celui du départ du lancer.

On donne : H(t) = -5 t² + 4 t + 9.

DERIVE 1

1°) Détermination de quelques instants particuliers

Déterminer les instants en lesquels la pierre



a) repasse devant la fenêtre résultat :

b) touche le sol résultat :

c) est située à une hauteur de 8 m. résultat :

DERIVE 2

2°) Recherche de la vitesse à l'instant t = 0,8 par calcul approché

La vitesse moyenne entre deux instants t1 et t2est le quotient de la distance parcourue entre ces deux instants et la durée qui sépare ces instants. Supposons qu'entre les instants t1et t2le mouvement ne change pas de sens. Alors, en notant Vm(t1,t2) cette vitesse moyenne, on a :

Calculé ainsi, il s'agit d'une grandeur algébrique

positive si la pierre monte,

négative lorsque la pierre descend.


Pour obtenir une valeur approximative de la vitesse à l'instant t0, on calcule la vitesse moyenne entre deux instants t1et t2proches de t0.

Remarque : ce calcul ne peut pas se faire pour t1= t2= t0.



Faites plusieurs choix pour t1et t2, calculez la vitesse moyenne correspondante et proposez une valeur pour la vitesse v(t0) à l'instant t0= 0,8. Résultat :

DERIVE 3



Chercher de la même manière :

a) v(1,8) résultat :

b) v(1) résultat :

DERIVE 4

3°) Interprétation graphique



Les calculs précédents ont été faits avec t1et t2proches de t0= 0,8 par exemple. Examinons donc la courbe au voisinage de son point M0d'abscisse t0.

Remarquons également que le calcul de la vitesse moyenne Vm(t1,t2) est celui du coefficient directeur de la droite (M1M2), où M1 est le point d'abscisse t1et M2 celui d'abscisse t2.

DERIVE 5 Zoom avant



Relevons deux points particuliers de la courbe lorsque celle-ci à l'air d'être une droite :

résultat : M1................... M2.................

Cherchez une équation de cette droite :

résultat :

DERIVE 6

DERIVE 7



Que représente cette droite? (proposez une formulation présise)

résultat :



4°) Examen de la courbe au voisinage du point M0(0,8 ;9) .

Cet examen revient à étudier la fonction tH(t) lorsque t prend des valeurs proches de t0= 0,8.

Une manière importante et commode de traduire cela, est de poser t = t0+et au lieu de supposer t proche de t0, supposer petit (proche de 0).

Calculer H(0,8 + ) en fonction de . Résultat :

DERIVE 8

Ce calcul fait apparaître H(t) comme la somme de trois de 3 termes :

a) 9 b) -4. c) -5.()²

Compléter le tableau suivant, en donnant à des valeurs petites :

9

-4.

-5.()0

9 - 4.

H(0,8+)

0,01

9

        

-0,01

9

        

0,0005

9

        

-0,0001

9

        
           
           
           


DERIVE 9



Résumons : pour t voisin de 0,8, c'est-à-dire, pour petit, on a :

première approximation : H(0,8 + ) » 9

plus précisément : H(0,8 + ) = 9 + ()

avec () négligeable devant 9, c'est-à-dire :

ce qu'on traduit par :

deuxième approximation : H(0,8 + ) » 9 - 4.

plus précisément  : H(0,8 + ) = 9 - 4. + ()

avec () négligeable devant 4., c'est-à-dire :

ce qu'on traduit par : H(0,8 + ) a pour approximatiopn affine 9 - 4..

(sous-entendu : lorsque tend vers 0)



Vérifiez le résultat énoncé () après calcul de

Reprenons cette écriture en fonction de t plutôt qu'en fonction de  :

puisque t = 0,8 + on a : 9 - 4. = ............................ et par conséquent :

l'approximation affine de H(t), lorsque t tend vers 0,8 est ...........................

On retrouve ainsi la fonction dont la représentation graphique est ................

5°) Recherche de quelques approximations affines



Chercher l'approximation affine de H(t) au voisinage de

a) t0 = 1,8 résultat :

b) t0 = 1 résultat :

DERIVE 10

Quel lien apparaît entre l'approximation affine de H(t) en t0et v(t0)?

résultat :



6°) Calcul exact de la vitesse moyenne et de la vitesse instantanée



Prenons à nouveau t0= 0,8. Calculez vm(t0,t0+) puis la limite de cette expression lorsque tend vers 0. Que représente cette limite?

Résultat : vm(t0,t0+) =

vm(t0,t0+) =

DERIVE 11

Refaites les calculs précédents sans donner de valeur à t0.

On obtient finalement : v(t0) =

DERIVE 12

Retrouvez les valeurs de v(1,8) et de v(1).

7°) Reprenons les trois aspects dégagés par le travail précédent :



a) aspect numérique :

On calcule pour t2 et t1 proches de t0 ou plus simplement pour t voisin de t0 ou encore pour petit.



On obtient ainsi une valeur approchée de la vitesse à l'instant t0.

Ces coefficients sont également les coefficients directeurs des droites (M0M0) ou (M0M), où M, M0, M0 et M0 sont des points de la représentation graphique de la fonction t H(t), avec M, M0 et M0 proches de M0. On obtient ainsi une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente au point M0 à la représentation graphique de la fonction t H(t).



b) aspect graphique

Le résultat énoncé ci-dessus est déjà une interprétation graphique ; on peut également obtenir une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente, en dessinant celle-ci et en "mesurant" son coefficient directeur. Une autre approche de la tangente est obtenue par grossissement de la courbe au voisinage du point M0 : la courbe se confond peu à peu avec une droite qui est sa tangente au point M0. (Il y a des cas singulier où cela ne se produit pas : c'est en particulier le cas si la courbe possède un "angle" vif comme par exemple pour la représentation graphique de la fonction valeur absolue au voisinage de l'origine.)



c) aspect algébrique

C'est la recherche de . Cette limite est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse t0 à la représentation graphique de la fonction t H(t).

Elle est notée H'(t0).

Dans l'exemple traité, la fonction H est une loi horaire d'un mouvement ;

H'(t0) est alors la vitesse à l'instant t0.

En posant = - H'(t ), on obtient :

d'une part que H(t0+ ) = H(t0) + .H'(t0) + . ; d'autre part que = 0

Démontrez ces deux résultats.

A retenir (entre autres choses!) :

H'(t0) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse t0 de la courbe d'équation y = H(t)

L'équation de cette tangente est donc obtenue à partir de : = H'(t0)