Propriétés

(u .v)’ = u’.v + u.v’

Preuve :

Sous l’hypothèse de l’existence de u’(a) et v’(a), les deux rapports ci-dessus tendent respectivement vers u’(a) et v’(a), alors que v(a + h) tend vers v(a) quand h tend vers 0.

Ce qui montre que u.v est dérivable en a et que (u .v)’(a) = u’(a).v(a) + u(a).v’(a)

Cette règle peut s’établir en appliquant la précédente au produit et la règle de dérivation de l’inverse qui suit :

On a en effet :

L’existence de u’(a) et la non nullité de u(a) entraînent que le numérateur du membre de droite tend vers - u’(a), que son dénominateur tend vers [u(a)]², également noté u²(a), donc que le quotient admet la limite quand h tend vers 0.

(g _o u)^/(x)=g^/(u(x)).u^/(x)

Comme pour les preuves précédentes, on commence par écrire le taux d’accroissement qui définit la dérivée à calculer, puis on fait apparaître des expressions dont on connaît la limite en 0 :

Si l’on suppose u dérivable en a, le deuxième quotient du membre de droite admet u’(a) comme limite en 0. Quant au premier quotient, il admet g’(u(a)) comme limite en 0 (conséquence du fait que u(a + h) tend vers u(a) en 0, la dérivabilité entraînant la continuité et de la continuité de g _o u) ; bien entendu, on suppose ici que g est dérivable en u(a).

Dérivée de la fonction réciproque (dessin , symétrie/bissectrice)

La formule précédente appliquée avec g = f et u = f ^–1 donne :

(f _o f -1) ^/ (x)=f ^/(f -1(x)).( f –1) ^/ (x).

Compte tenu de (f _o f -1)(x) = x et sous l’hypothèse que la dérivée de f n’est pas nulle en f ^–1(a), on a donc :

Tangente en un point au graphe d'une fonction

Le nombre dérivé, i.e. la valeur de la fonction dérivée en un point (lorsque celle-ci existe), est égal au coefficient directeur de la tangente au point correspondant.

Le signe de la dérivée fournit le sens de variation d'une fonction (ce qui permet de résoudre certains problèmes d'optimisation) :

• Si f ' est (strictement) positive sur un intervalle I,

alors f est (strictement) croissante sur I.

• Si f ' est (strictement) négative sur un intervalle I,

alors f est (strictement) décroissante sur I.

• Si f ' est nulle sur un intervalle I,

alors f est constante sur I.

Remarques :

• le signe d'une expression s'obtenant souvent en appliquant la règle des signes à un produit ou un quotient, il est recommandé d'essayer de factoriser f ' (x) lorsqu'on étudie le sens de variation d'une fonction f.
• si une fonction dérivable admet un extremum (maximum ou minimum) en un point, sa dérivée y est nulle et la tangente à la courbe y est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) ; la réciproque est fausse en général.
• Les extrema (maxima ou minima) d’une fonction dérivable s’obtiennent en résolvant l’équation f ' (x) = 0.

f admet un maximum en a de valeur M = f(a)

f ' (a) = 0

et f ' (x) > 0 sur un intervalle ]x₁ ; a[ à gauche de a

et f ' (x) < 0 sur un intervalle ]a ; x₂[ à droite de a

Une annulation de la dérivée en a indique un extremum (maximum si on passe d’une zone croissante vers une zone décroissante ou minimum si on passe d’une zone décroissante vers une zone croissante)

dessin ( graphe avec la tangente dans les 4 cas)

f / passe du signe + au signe -

f’ passe du signe - au signe +

f ’ garde le signe -

f ’ garde le signe +

Dans ces deux cas, la tangente traverse la courbe ; on est en présence d’un point d’inflexion (voir plus loin)

• Etant donnée une fonction f, dérivable sur un intervalle I, la fonction dérivée de f, notée f’ ou encore

, associe à tout x appartenant à I le nombre f’(x)

f’ est la dérivée première de f

• Si f’ est elle-même dérivable sur , on peut définir sa fonction dérivée, notée f’’ ou encore

par f’’(x) = (f’)’(x)

f’’ est la dérivée seconde de f

Exemple : soit f définie sur R par f(x) = x³ ;

f est dérivable sur R et f’(x) = 3x² pour tout réel x

f ^’est dérivable sur R et f’’(x) = 3(2x) = 6x pour tout réel x

• En répétant ce processus de dérivation, on définit la dérivée n-ième d’une fonction comme étant la dérivée de la dérivée (n – 1)-ième (lorsque celles-ci existent…)
• 

dérivée seconde positive indique que la pente de la tangente augmente quand x augmente.

dérivée seconde négative indique que la pente de la tangente diminue quand x augmente.

Ceci correspond à un graphe qui tourne sa concavité (vers le bas f’’<0, vers le haut f’’>0)

Un changement de signe de la dérivée seconde, en passant par la valeur a, se traduit par un changement de sens de la concavité de la courbe autour du point d’abscisse a. En un tel point, dit point d’inflexion, la tangente traverse la courbe.

f ^// passe du signe - au signe + f ^// passe du signe + au signe -