c'est équivalent
à dire que
Etude d'une fonction au voisinage d'un point où elle n'est pas définie.
Soit f définie par f(x) = (x^3+3x-4)/(x-1). Le dénominateur étant nul en 1, f n'est pas définie en 1. Voyons les graphiques obtenus au voisinage de 1, pour différents niveaux de zoom.
<graphiques>
On observe que pour les valeurs de x voisines de 1, on obtient des valeurs correspondantes de f(x) proches de ???.
Soit f définie par f(x) = x/(x+1). F n'est évidemment pas définie en +¥ , mais on peut se demander ce que deviennent les valeurs de f(x) lorsqu'on donne à x des valeurs de plus en plus grandes.
<graphiques>
Soit F : x->F(x)une fonction numérique.
On dit que la fonction F(x) admet une limite finie L quand x tend vers a (fini) si, pour x "très proche" de a F(x) est "très proche" de L.
On dit que la fonction F(x) admet une limite finie L quand x tend vers l'infini si, pour x "très grand " F(x) est "très proche" de L .
On dit que la fonction F(x) tend vers l'infini quand x tend vers a (fini) si, pour x "très proche" de a , F(x) est "très grand " .
On dit que la fonction F(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini si, pour x
"très grand " , F(x) est "très grand " .
NB: très grand peut être aussi bien positif que négatif.
c'est équivalent
à dire que
pour tout P>0, il existe Q, tel que x vérifiant 
implique 
Notons que P peut être pris aussi proche de 0 que l'on veut.
c'est équivalent
à dire que
pour tout P>0, il existe Q, tel que x vérifiant 
implique
Notons que P peut être pris aussi proche de 0 que l'on veut, dans ces cas là Q pourrait prendre des valeurs très grandes.
c'est équivalent
à dire que
pour tout P>0, il existe Q, tel que x vérifiant implique 
Notons que P peut être pris aussi grand que l'on veut.
c'est équivalent
à dire que
pour tout P>0, il existe Q, tel que x vérifiant implique
Notons que P peut être pris aussi grand
que l'on veut, dans ces cas là Q pourrait également prendre
des valeurs très grandes.
On suppose que toutes les limites sont finies.
Lim (F(x)+G(x))= lim(F(x))+lim (G(x))Quand x tend vers l'infini,
dans un polynôme, le terme de plus haut degré l'emporte sur les autres termes,
l' exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance d'exposant positif,
le logarithme est perdant devant toute fonction puissance.
(des calculs numériques et des graphiques pour illustrer
une procédure JAVA pour calculer il rentre un x et on lui renvoie les valeurs des fonctions
we need algo)
F(x) =(1+x²)/(3+x^3)
La limite quand x tend vers 0 (clic la reponse, 1/3) (clic l'illustration, f(0)=1/3)
La limite quand x tend vers +inf (clic la reponse, 0) (clic l'illustration, c'est la meme chose que la limite de x^2/x^3=1/x )
F(x) =(2-x^2)/(1+x)^2
La limite quand x tend vers -1 (clic la reponse, +inf) (clic l'illustration, graphe , le num vers le den veers )
La limite quand x tend vers +inf (clic la reponse, -1) (clic l'illustration, c'est la meme chose que la limite de
-x^2/x^2= -1 )
F(x) = x²-x
La limite quand x tend vers 0 (clic la reponse, 0) (clic l'illustration, graphe , f(0)=0 )
La limite quand x tend vers +inf (clic la reponse, +inf) (clic l'illustration, c'est la meme chose que la limite de
x^2, on peut le voir comme x(x-1) les deux facteurs tendent vers l'inf )
x inf inf 0 0 inf et –inf
F(x) exp(-x)/x-² ln(1+x)/(1+x²) ln(1+x)/x²sin(x)/x exp(x)-x*sin(x)
X Inf 0 1 10 Inf Inf 2
F(x) 1+1/x X+5 1/(x-1) (x²-100) /(x-10) x²-x(x²+3)/(x²+10) (x²-4)/(x-2)²
Limite bouton(1) 5 Inf 20 Inf 1 Inf
Appliques les théorèmes :produit ,sommes de limites , théorème du "bras de fer "
Remplacer ,à l'aide de la calculatrice par des valeurs proches
et de plus en plus proches.
Cas indéterminés : 0/0 ; inf/inf ; 0 * inf ; inf-inf
Résultats possibles: pas de limite ,zéro ,un nombre
fini ; l'infini
VI) Test
Calculez les limites aux bornes du domaine de définition ,après
recherche de celui-ci des fonctions suivantes:
sin(1/x) ;x*sin(1/x) ;x²*sin(1/x) ;
(x^3-4*x)/(x-2) ;(x-1)/(x²-1) ; (x²-4)/(x-2);(3x²-6x+3)/(2*x²-2) ;
(x*sin(1/x))/(ln(1+x)) ;(x*sinx)/(e^x-1);
ln (e^x+1)-x ;
X²+1/x-x^(2+1/x);
X*(10^10^x +1000)/(10^10^x-10);