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- Définition. Munissons R2 de la norme euclidienne usuelle. Soit X un point de R2. Une meilleure approximation de X pour la norme euclidienne est un entier q strictement positif tel que la distance du point qX à l'ensemble Z2 soit strictement inférieure à la distance de kX à Z2 pour tous les entiers k strictement compris entre 0 et q.
- La region verte de la figure ci-dessous est constituée des points du carré [0,1]x[0,1] dont l'une des meilleures approximations est comprise entre 9 et 15. La region rouge est constituée des points dont aucune des meilleures approximations n'est comprise entre 9 et 15.
- Lorsque les coordonnées du point X ne sont pas toutes les deux rationnelles, le point X possède une infinité de meilleures approximations. On ordonne cette suite q0=1< q1<...< qn<...
En dimension 1, la suite (qn) correspond au dénominateurs des réduites du développement en fraction continue.
- En dimension 2, le choix de la norme euclidienne est arbitraire et l'on peut considérer n'importe quelle autre norme à la place. Cela ne conduit pas à la même suite (qn). Pour X=(0,963729, 0,153624), les meilleures approximations associées à la norme euclidienne sont:
q0 = 1, q1 = 26, q2 = 137, q3 = 221, q4 = 332, q5 = 358, q6 = 1048, q7 = 1406, q8 = 16625,
q9 = 30796, q10 = 32202 etc...
Lorsque R2 est muni de la norme sup les meilleures approximations sont :
q'0 = 1, q'1 = 26, q'2 = 111, q'3 = 137, q'4 = 332, q'5 = 358, q'6 = 1048, q'7 = 1406, q'8 = 32202 etc...
Cette dépendance vis à vis de la norme explique en partie le fait qu'il y ait de nombreuses extensions multidimensionnelles du développement en fractions continues dont aucune n'est vraiment meilleures que les autres.
- Les meilleures approximations d'un point X ne dépendent que de la classe de X modulo Z2, on peut donc définir les meilleures approximations pour un élément du tore T2=R2/Z2. Dans les images suivantes nous avons représenter les multiples du même point X=(0,963729, 0,153624) dans le tore T2 (vue comme un carré).
- Une meilleure approximation qn de X fournit deux approximations rationnelles, une pour chaque coordonnée de X, avec le même dénominateur qn. A chaque entier n, on peut donc associer un point Xn à coordonnées rationnelles avec le même dénominateur qn. Dans le tore, Xn engendre un sous-groupe d'ordre qn et nous avons représenter le sous-groupe engendré par Xn sur les trois premières figures.
- Les trois figures suivantes représentent les q1=26, 52 et q'2=111 premiers multiples de X et de Xn.
- Les quatre figures suivantes représentent les 600, q6=1048, q7=1406 et 4000 premiers multiples de X.