SEMINAIRE Mulhousien de MATHEMATIQUES
résumé/abstract
Jean-André
Marti (Université Antiles-Guyanne)
Solutions généralisées de problèmes
différentiels
non linéaires et irréguliers
Durant les trois dernières décades les théories de fonctions généralisées ont été développées par de nombreux auteurs. Elles ont prouvé leur efficacité pour poser et résoudre de nombreux problèmes différentiels à données irrégulières, ou caractéristiques, ou encore à non linéarité non Lipschitzienne.
Dans tous ces travaux la stratégie pour
résoudre ces problèmes singuliers est de remplacer le problème donné par une famille
de problèmes régularisés dépendant d’un ou plusieurs paramètres. Ensuite on
doit raffiner les estimations classiques reliant les données à la solution des
problèmes généralisés. Enfin on aura à construire une structure algébrique
capable d’héberger la famille des solutions des problèmes posés. De façon plus
précise nous considérons l’exemple du problème de Cauchy pour l’équation des
ondes unidirectionnelles sous diverses condition d’irrégularité. Cette équation
est de type hyperbolique semi linéaire, la non linéarité intervenant seulement
au second membre défini par la fonction F de l’espace, du temps et de la
fonction inconnue. Un premier cas suppose F Lipschitzien mais les données
irrégulières. Un second traite le cas de données régulières mais portées par
une courbe caractéristique. Enfin nous étudions le cas où la seule singularité
est présentée par un F non Lipschitzien. Chacun de ces cas fait intervenir un seul
paramètre de régularisation et la solution généralisée obtenue est contenue
dans une algèbre de type Colombeau. Mais tous les cas présentés ci-dessus
peuvent aussi être mixés dans le même problème en utilisant une régularisation multiparamétrique.
C’est la raison pour laquelle nous utilisons ici la structure des
(C,E,P)-algèbres qui permet cette adaptation. Une courte présentation de
l’algèbre de Colombeau et des (C,E,P)-algèbres complète donc cet exposé.
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Dernières modifications / Last modifications :3 Janvier 2008