SEMINAIRE Mulhousien de MATHEMATIQUES

résumé/abstract


            Jean-André Marti (Université Antiles-Guyanne)

Solutions généralisées de problèmes

différentiels non linéaires et irréguliers

Durant les trois dernières décades les théories de fonctions généralisées ont été développées par de nombreux auteurs. Elles ont prouvé leur efficacité pour poser et résoudre de nombreux problèmes différentiels à données irrégulières, ou caractéristiques, ou encore à non linéarité non Lipschitzienne.

Dans tous ces travaux la stratégie pour résoudre ces problèmes singuliers est de remplacer le problème donné par une famille de problèmes régularisés dépendant d’un ou plusieurs paramètres. Ensuite on doit raffiner les estimations classiques reliant les données à la solution des problèmes généralisés. Enfin on aura à construire une structure algébrique capable d’héberger la famille des solutions des problèmes posés. De façon plus précise nous considérons l’exemple du problème de Cauchy pour l’équation des ondes unidirectionnelles sous diverses condition d’irrégularité. Cette équation est de type hyperbolique semi linéaire, la non linéarité intervenant seulement au second membre défini par la fonction F de l’espace, du temps et de la fonction inconnue. Un premier cas suppose F  Lipschitzien mais les données irrégulières. Un second traite le cas de données régulières mais portées par une courbe caractéristique. Enfin nous étudions le cas où la seule singularité est présentée par un F non Lipschitzien. Chacun de ces cas fait intervenir un seul paramètre de régularisation et la solution généralisée obtenue est contenue dans une algèbre de type Colombeau. Mais tous les cas présentés ci-dessus peuvent aussi être mixés dans le même problème en utilisant une régularisation multiparamétrique. C’est la raison pour laquelle nous utilisons ici la structure des (C,E,P)-algèbres qui permet cette adaptation. Une courte présentation de l’algèbre de Colombeau et des (C,E,P)-algèbres complète donc cet exposé.


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Dernières modifications / Last modifications :3 Janvier 2008