SEMINAIRE Mulhousien de MATHEMATIQUES
résumé/abstract
Loïc Foissy (Reims)
EQUATIONS DE DYSON-SCHWINGER
COMBINATOIRES
ET SOUS-ALGEBRES
DE FAA DI BRUNO
DANS L'ALGEBRE
DES ARBRES ENRACINES
Dans l'algèbre de Hopf (commutative) H des arbres enracinés de Connes-Kreimer, munie de son 1-cocyle B^+, nous considérons
l'équation de Dyson-Schwinger suivante :
X= B^+(f(X)),
où f(h) est une série
formelle à coefficients dans le corps de base. Cette équation admet une unique
solution X, existant dans un complété de H. Les coefficients de X engendrent
une sous-algèbre H_f. Nous
caractérisons les séries formelles f telles que H_f
soit une sous-algèbre de Hopf.
Nous obtenons ainsi une famille de sous-algèbres de Hopf, réparties en trois classes d'isomorphisme :
1) La sous-algèbre
engendrée par l'arbre réduit à sa racine.
2) La sous-algèbre
des échelles, isomorphe à l'algèbre de Hopf des
fonctions symétriques.
3) Une famille infinie de sous-algèbres,
toutes isomorphes à l'algèbre de Faà di Bruno.
Nous donnons un résultat
similaire dans le cas de l'algèbre de Hopf non
commutative des arbres enracinés
planaires et nous discutons également du cas des algèbres de Faà di Bruno libres à N variables.
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Dernières modifications / Last modifications : 04 Octobre 2007