2008

 

Sujets de Thèse Proposées

Etude des singularités de la fonction « valeur à canard » de certaines équations différentielles   complexes singulièrement perturbées.



Sujet proposé par Augustin Fruchard



Etant donnée une équation différentielle singulièrement perturbée (de petit paramètre noté h), un « point tournant » est une valeur de la variable indépendante où la courbe lente présente une inversion de stabilité. Exceptionnellement il peut exister des solutions, appelées « canards », bornées dans tout un voisinage d'un point tournant.


Dans une famille à un paramètre de contrôle (noté a) d'équations, sous une hypothèse de transversalité, de telles solutions canards existent pour certaines valeurs a(h) du paramètre, appelées « valeurs à canard ».


Une étude dans le champ complexe [BFSW,CRSS] montre que ces valeurs admettent un développement asymptotique â(h) Gevrey d'ordre 1, si bien que la transformée de Borel A(t) de â(h) est analytique au voisinage de 0.


L'objet de la thèse est d'étudier les singularités complexes de cette fonction A(t). Une première étape, très accessible, est de montrer que les premières singularités sont isolées. L'étape ultime serait de démontrer la résurgence de cette fonction, ce qui constituerait un premier cas concret de résurgence paramétrique. On s'appuiera sur des études d'exemples.


Par rapport à la littérature existante, le principal outil  nouveau est la  mise au point toute récente de « développements asymptotiques combinés » [FS], d'une nature différente des développements combinés classiques et bien adaptés à la description des solutions au voisinage d'un point tournant.


Bibliographie :


[BFSW] E. Benoît, A. Fruchard, R. Schäfke et G. Wallet, Solutions surstables des équations différentielles complexes lentes-rapides à point tournant, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. Vol. VII, no 4 (1998) 627-658


[CRSS] M. Canalis-Durand, J.-P. Ramis, R. Schäfke et Y. Sibuya, Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations, J. Reine Angew. Math. 518 (2000), 95—129


[FS] A. Fruchard, R. Schäfke,  Développements combinés en perturbation singulière, Mémoire en préparation