2008

 

Sujets de Thèse Proposées

Deformation des operades ne verifiant pas la proprieté de Koszul



Sujet proposé par Elisabeth Remm




La théorie des déformations des opérades est très actuelle. La plupart des opérades étudiées sont binaires, quadratiques (souvent linéaires). On dit qu'elles vérifient la dualité de Koszul si l’algèbre libre associée a une homologie triviale (sauf en degré 0). Mais pour de nombreuses classes d'algèbres, par exemple les algèbres à puissance associative, ou les algèbres n-aires, l'étude directe de l'opérade associée n’est pas suffisante. Il est alors nécessaire d'associer une opérade graduée. L'exemple le plus simple est donné par les algèbres vérifiant (xy)z+x(yz)=0. L'opérade correspondante ne vérifie pas la propriété de Koszul et les invariants algébriques (homologie, cohomologie) se lisent dans l'opérade graduée associée. Un premier travail consiste à revoir, dans ce cadre, la notion de Koszulité afin de pouvoir étudier les propriétés de déformations. Le travail peut se poursuivre par l’étude des opérades non quadratiques englobant par exemple les opérades correspondant aux algèbres de Jordan.


Bibliographie


Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203--272.


Goze Nicolas., Remm Elisabeth, Algèbres définies par les produits de Gerstenhaber. Preprint 2008 et arxiv Math


Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. x+349 pp. ISBN: 0-8218-2134-2


Markl, M.; Remm, E. Algebras with one operation including Poisson and other Lie-admissible algebras. J. Algebra 299 (2006), no. 1, 171--189.