2008

 

Sujets de Thèse Proposées

Bifurcations des polycycles hyperboliques et structures o-minimales


Sujet proposé par Daniel Panazzolo



La deuxième partie du 16ème problème de Hilbert demande l'existence d'une borne uniforme pour le nombre de cycles limites (i.e. orbites périodiques isolées) d'un champ de vecteurs polynomial du plan de degré donné.  Une des étapes importantes pour la résolution de ce problème est l'étude des polycycles hyperboliques. Ce sont des réunions de trajectoires du champ constituées  d'un nombre fini de points stationnaires de type selle et de trajectoires, dites hétéroclines, reliant ces points [R].


Dans une famille analytique de champs de vecteurs (par exemple la famille de tous les champs polynomiaux) un polycycle hyperbolique peut donner naissance à plusieurs cycles limites par bifurcation. Une question ouverte est de savoir, pour une famille fixée, s'il y a une borne uniforme pour le nombre de cycles pouvant bifurquer d'un polycycle hyperbolique.  


La solution d'un tel problème nécessite une très bonne compréhension de l'application de  premier retour de Poincaré associée au polycycle. Une question fondamentale est de savoir si cette application appartient à une structure o-minimale (voir [SKR] ).


Le sujet de thèse consistera en l'étude des propriétés de o-minimalité de l'application de Poincaré associée à un polycycle hyperbolique.  


Bibliographie :


[R] Robert Roussarie, Bifurcation of planar vector fields and Hilbert's sixteenth problem. Progress in Mathematics, 164. Birkhäuser Verlag, Basel, 1998. 


[SKR] Patrick Speissegger, Tobias Kaiser and Jean-Philippe Rolin,   Transition maps at non-resonant hyperbolic singularities are o-minimal Preprint, December 2006. To appear in J. Reine Angew. Math.