De la quadrature du cercle
Un des plus vieux problèmes de mathématiques, posé depuis l'antiquité, consistait à trouver une méthode pour construire, à l'aide d'une règle et d'un compas, un carré de même aire qu'un cercle donné. Ce problème fut nommé de façon assez parlante "la quadrature du cercle".
Il n'existe pas de telle méthode
. La quadrature du cercle est impossible. Ici réside l'origine d'une expression assez courante de notre langue.De façon assez curieuse, ce résultat de géométrie classique est largement lié à la
transcendance de p ; voyons comment…
Construction à la règle et au compas.
Convenons d'appeler objet géométrique un point, une droite, ou un cercle. Par définition une figure géométrique sera un ensemble d'objets géométriques.
Etant donnée une figure F:
Un cercle de centre O et de rayon r est dit "constructible à la règle et au compas" (au compas surtout !) à partir de F, si O est un objet de F, et s'il existe deux points A et B de F tel que R=AB.
Une droite D est dite "constructible à la règle et au compas" (à la règle surtout !) à partir de F s'il existe des points A et B de F tels que D=(AB).
Un point P est dit "constructible à la règle et au compas" (…!) à partir de F, s'il est intersection de deux objets de F.
Les objets géométriques "constructibles à la règle et au compas" au sens précisé plus haut sont exactement ceux qu'on est en mesure de tracer, à l'aide de ces deux instruments.
Objets géométriques algébriques.
Dans ce qui suit, on rapporte le plan à un repère cartésien.
Les points sont donc caractérisés par leurs deux coordonnées; les droites par une équation du type ax+by+c=0, c'est à dire par les trois nombres a, b et c (pas de façon unique); et les cercle par les cordonnées de leur centre, et leur rayon; c'est à dire encore par trois nombres.
Nous allons définir à partir de la notion de transcendance sur les nombres, une notion de transcendance sur les objets géométrique:
Un point est algébrique si ses deux coordonnées le sont, sinon il est transcendant.
Un cercle est algébrique, si son centre est algébrique d'une part (au sens de la ligne du dessus), et son rayon l'est d'autre part (au sens d'un nombre algébrique). Dans le cas contraire, il est transcendant.
Une droite est algébrique si elle admet une équation ax+by+c=0 avec a, b et c tous les trois algébriques, au sens des nombres. Cela ne signifie pas que toutes ces équations soient de ce type. Dans le cas contraire, la droite est dite transcendante.
Il est relativement aisé de voir que les opérations de "construction à la règle et au compas" conserve le caractère algébrique des objets géométrique. Précisément si F est une figure dont tous les objets sont algébriques, et si O est un objet géométrique constructible à la règle et au compas à partir de F, alors O est algébrique.
Quadrature, Adieu !
Supposons qu'un procédé de quadrature existe. Appliquons-le à un cercle C de centre l'origine du repère et de rayon 1. Ce cercle est algébrique, et c'est l'unique objet de la figure. D'après ce qui suit les objets que l'on pourra construire seront tous algébrique, en particulier les points du carré ABCD cherchés. La longueur AB est donc algébrique, il en est de même pour l'aire du carré : AB²=
p , puisque, rappelons-le nous, ce carré a même aire que le cercle C.Comme nous savons que
p est transcendant (ça, ce n'est pas facile !), il est impossible qu'un tel procédé existe. Quadrature, Adieu !