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p EST UN NOMBRE IRRATIONNEL |
En 1766, le mathématicien alsacien
Jean Henri Lambert démontre que p est un nombre irrationnel.Idée de la démonstration :
1) Il établit que tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue :
avec
ú aiú <ú biú à partir d'un certain rang est irrationnel.2) Il utilise ensuite un développement de tan(x) en fraction continue généralisée :
pour tout x tel que tan(x) est défini, on a :
3) Pour x=p/q un nombre rationnel (p, q entiers) pour lequel tan(x) existe , la formule du paragraphe précédent devient.
Cette fraction continue vérifie bien les hypothèses de la première étape, à savoir pē<(2i+1)q à partir d'un certain rang i.
On en déduit que la tangente d'un nombre rationnel est toujours irrationnel.
4) Si
p était rationnel, alors p /4 le serait aussi, et donc sa tangente, à savoir 1 serait irrationnel, ce qui est absurde.- DONC
p EST IRRATIONNEL -