Les Fonctions

Introduction

Ensemble de définition
Courbe représentative

Sens de Variation

Introduction

Pour certains humains, la qualité du sommeil est fonction de la phase de la lune, celle-ci déterminant également la qualité des légumes à venir. Si l’on gratte un peu, on s’aperçoit que pour les uns, la pleine lune serait favorable, alors que ce serait le contraire pour d’autres.

En mathématiques, une fonction est le plus communément donnée par une règle de calcul associant à un nombre (voir plusieurs…) appelé variable, souvent noté x, une image obtenue en appliquant les règles de calcul définissant la fonction.

Exemples :

définit une fonction affine

(l’image du nombre 1 est le nombre 5 (2 ´ 1 + 3)

Si dans le domaine des sciences expérimentales les valeurs possibles des variables sont imposées par leur nature (T, V, P sont des réels positifs…dans l’exemple ci-dessus), en mathématiques, on doit préciser quel est l’ensemble dans lequel la variable x prend ses valeurs : il s’agit de l’ensemble de départ de la fonction. Suivant le choix de cet ensemble de départ, les propriétés de la fonction peuvent s’avérer très différentes.

Exemple : la règle , suivant que x prend toute valeur entière, réelle ou complexe définit une suite arithmétique, une droite du plan ou une homothétie.

Notation

E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée

ou plus simplement en sous-entendant que E = R

Ensemble de définition

Une fonction f étant donnée, il se peut que pour certaines valeurs de x, élément de l’ensemble de départ, le calcul de l’image f(x) ne soit pas possible.

Exemple : comme la division par 0 n’a pas de sens, la règle n’attribue pas d’image au réel 0. La fonction n’est pas définie en 0.

Définition :

L’ensemble de définition d’une fonction est formé des éléments de l’ensemble de départ pour lesquels le calcul de l’image est possible.

Dans l’exemple précédent, la seule valeur de x pour laquelle le calcul de f(x) n’est pas possible étant 0, l’ensemble de définition de f est constitué de tous les réels sauf 0, ensemble noté R – {0} ou encore R*.

Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction ?

On "analyse" l’expression de f(x).

En présence de quotients, on recherche les valeurs éventuelles de la variable, qui annulent le diviseur.

Ces valeurs ne font pas partie de l’ensemble de définition.

Attention ! L’existence d’un quotient est parfois "cachée" : voir la fonction tangente…

En présence de radicaux, on recherche la ou les valeur(s) éventuelle(s) de la variable, pour lesquelles le radicande est négatif.

Ces valeurs ne font pas partie de l’ensemble de définition.

En présence de la fonction logarithme népérien, ln, on recherche les valeurs éventuelles de la variable, pour lesquelles l’expression sur laquelle ln est appliquée est négative ou nulle.

Ces valeurs ne font pas partie de l’ensemble de définition.


Courbe représentative

Un repère du plan étant choisi, l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) constitue la courbe représentative de f associé à ce repère.

Ensemble d’étude

Certaines propriétés (symétrie, périodicité) de la courbe d’une fonction, décelables au niveau de l’expression de la fonction, peuvent être exploitées pour limiter son étude à un ensemble plus restreint que celui de départ, donné à priori.

Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, fonction paire

Si l’ensemble de départ E est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = f(x) pour tout x dans E,

on peut prendre E inter [0 ; +¥ [ comme ensemble d’étude f est dite paire dans ce cas.

On complétera ensuite en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Symétrie par rapport à l’origine, fonction impaire

Si l’ensemble de départ E est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = -f(x) pour tout x dans E,

on peut prendre E inter [0 ; +¥ [ comme ensemble d’étude f est dite impaire dans ce cas.

On complétera ensuite en utilisant la symétrie par rapport à origine du repère.

Courbe s’obtenant en raccordant des portions de courbes identiques, fonction périodique

Ce tracé correspond à la fonction
N’est-on pas tenté d’affirmer que f est périodique ?

Sens de Variation

Motivation : problèmes d’optimisation.

Avec une calculatrice graphique, il est facile aujourd’hui de visualiser le graphique d’une fonction (ou plus exactement la partie de son graphique correspondant à une fenêtre de visualisation par défaut ou choisie). Il est tentant alors d’en " déduire " le sens de variation, i.e. de voir sur quels intervalles la fonction est croissante (sa courbe va vers le haut) ou décroissante (la courbe va vers le bas). Il suffit d’observer les situations suivantes pour se convaincre de la nécessité de bien définir ces notions :

Voici les courbes de et dans des fenêtres "standard"



Et dans des fenêtres plus resserrées autour de l’origine



Les courbes suivantes correspondent à la fonction dans diverses fenêtres :

fenêtre "standard" "zoom" autour de l’origine


Fonction croissante sur un intervalle I :

La fonction f est dite croissante sur I si les images de deux réels quelconques dans I sont rangées dans le même ordre que les réels de départ.

Fonction décroissante sur un intervalle I :

La fonction f est dite décroissante sur I si les images de deux réels quelconques dans I sont rangées dans l’ordre inverse que les réels de départ.

Fonction constante sur un intervalle I :

La fonction f est dite constante sur I si toutes les images de réels de I sont égales.

Un exemple important : les fonctions affines

Soit f définie sur R par f(x) = ax + b (a et b constantes fixées)

si a > 0 f est croissante sur R

si a < 0 f est décroissante sur R

si a = 0 f est constante sur R

Soit par exemple x > y deux réels quelconques, on a :

f(x) – f(y) = ax + b – (ay + b) = a(xy)

…..

Comment trouver le sens de variation d’une fonction ?

(i.e. trouver les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante)

En théorie, il s’agit de déterminer le signe du rapport x et y désignent des réels distincts pris dans l’ensemble de définition de f.

En pratique, on utilise souvent le théorème du signe de la dérivée

Mais il est parfois plus rapide, voire plus élégant d’utiliser l’un des théorèmes suivants :

La composée de deux fonctions croissantes est croissante

La composée de deux fonctions décroissantes est croissante

La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante

Exemple : soit la fonction f définie sur R par .

f est définie sur ]-¥;1[ et s’analyse comme la composée de deux fonctions croissantes et d’une fonction décroissante :

Si on pose et h(x) = 1 – x, on a : f(x) = ln(g(h(x)))

On doit savoir que les fonctions ln et racine carrée sont croissantes, et h est décroissante en tant que fonction affine avec un coefficient de xnégatif.

f est donc décroissante sur ]-¥;1[