Notion de vitesse instantanée

Objectif : Illustrer la notion mathématique de nombre dérivé par celle de la vitesse instantanée

Lorsqu'une automobile se déplace à 120 km/h sur une autoroute, son conducteur aura parcouru 120 km en une heure, ou encore 240 km en deux heures. Mais il peut également prévoir qu'il atteindra son objectif situé à 90 km, en 45 min.: on obtient ce résultat en divisant 90 par 120, ce qui donne 0,75 h, soit 45 min.

A vitesse constante, la distance Dx, parcourue entre deux instants quelconques t₁ et t₂ est proportionnelle à la durée Dt = t₂ - t₁ :   Dx= v Dt.

Le nombre v est par définition la vitesse du mobile.

• On peut vérifier l'indicateur de vitesse d'une voiture en chronométrant un parcours de Dx kilomètres par exemple, à vitesse constante sur autoroute. La vitesse s'obtient en divisant Dx par Dt où Dt désigne la durée du parcours de test.
• La formule  où Dx désigne la distance parcourue entre les instants t₁ et t₂ et Dt = t₂ - t₁ définit de manière générale la vitesse moyenne d'un mobile entre les instants t₁ et t₂.

Lors d'un déplacement courant composé naturellement d'une succession de phases d'accélération ou de freinage, la vitesse n'est pas constante. Si on peut calculer la vitesse moyenne comme indiqué ci-dessus, le calcul de la distance parcourue entre deux instants t₁ et t₂, est moins immédiat et nécessite de connaître ce que l'on appelle la vitesse instantanée à tout instant t Î [t₁ ; t₂].

Pour fixer les idées, dans la suite, on suppose que le mouvement est rectiligne.

On désigne alors par x(t) l'abscisse du mobile à l'instant t, x(t + Dt) son abscisse à l'instant t + Dt et Dx = x(t + Dt) - x(t).

La vitesse moyenne du mobile entre les instants t et t + Dt est égale au rapport et on définit sa vitesse instantanée à l'instant t, notée v(t), comme la limite de ce rapport quand Dt ® 0.

v(t) est par définition la dérivée de la fonction x en t, et l'on note :

Remarque : cette définition de v(t) suppose la connaissance de x(t) à tout instant. Mais, en pratique, cette formule permet plutôt la détermination de la position connaissant la vitesse à tout instant ; celle-ci étant obtenue à partir de l'accélération g définie par g(t) = v'(t).

Exemple d'application : détermination de la hauteur d'un pont &